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Condivido che un testo tradotto non rende giustizia all'originale e che un testo scientifico tradotto (male) è un pessimo supporto ma non capisco

gandalff ha scritto:Quando dopo aver sopportato vari orrori arrivai ad un "l'aritmetica normale e quella dei numeri con segno"

Cosa c'è di male in questa frase? E, com'era l'originale "che rende la giusta idea"?

Magari parlare di insieme dei numeri naturali e insieme dei numeri reali?
Non so, faccio fatica a comprendere un'aritmetica normale e una o più aritmetiche speciali (dei numeri con segno, dei numeri con frazione, dei numeri con una i.....).
Magari sbaglio io, anzi sicuramente sbaglio io, però la definizione di aritmetica normale e aritmetica dei numeri con segno non l'avevo mai vista prima e non l'ho più vista dopo

Chi arriva da studi scientifici sa bene che il più annoso dei problemi consiste proprio nella difficoltà a a trovare un linguaggio univoco e comune, ciò appare evidente soprattutto in ambito universitario, dove la bibliografia di riferimento su ogni argomento possibile, in merito alle pubblicazioni internazionali, è praticamente immensa. Ciò per dire che è già difficile a certi livelli adattarsi alla terminologia utilizzata da un dato autore piuttosto che dall'altro, se poi ci si mette di mezzo anche un traduttore non perfettamente preparato per ciò che attiene al gergo scientifico-matematico, seguire un discorso e dargli un senso diventa un'impresa titanica!
Quindi finché mi si parla di numeri reali, numeri naturali, razionali e irrazionali, interi, primi, primi gemelli, trascendenti, etc.. seguo il discorso.
Ma dinnanzi ad una aritmetica normale (ce n'è una "anormale"?!) e quella dei numeri con segno (...?! ) getto la spugna, non potendo gettare anche io il libro nella differenziata...

Tornando agli inglesismi, molto usato in fotografia e nel fotoritocco "zummare" (dallo zoom )...che c'è di male nel verbo ingrandire?!

Mi permetto di rispondere a gandalff e irishtales...censuratemi, lapidatemi, fatequellochevoletatemi...me lo merito..lo so! Non ha molto senso scusarsi ma...scusatemi!

Premessa: questa sarà una digressione matematica (stupenda!) per i miei amici e tutti gli altri che si sono incuriositi. (Per gli amici degli inglesismi dichiariamo --Off Topic On--)
Richiesta: se qualcuno che ne sa più e meglio di me trova degli errori me lo segnali (sono sempre possibili..) gli sarò grato!
Promessa: se poi qualcuno si interessa e vuole approfondire, per me sarà un piacere sia con pm che non ma in quest'ultimo caso..aprirò un altro argomento in "chiacchiere in libertà".

gandalff ha scritto:Magari parlare di insieme dei numeri naturali e insieme dei numeri reali?
Non so, faccio fatica a comprendere un'aritmetica normale e una o più aritmetiche speciali (dei numeri con segno, dei numeri con frazione, dei numeri con una i.....).
Magari sbaglio io, anzi sicuramente sbaglio io, però la definizione di aritmetica normale e aritmetica dei numeri con segno non l'avevo mai vista prima e non l'ho più vista dopo

Il problema con la matematica è che si insegnano (a mio sindacabilissimo avviso, sia chiaro) le cose sbagliate perché si "pensa" sia più semplice imparare qualcosa a memoria di sbagliato ma che comunque "torna" piuttosto che far imparare un centesimo delle cose ma facendo ragionare cento volte di più..facendo "capire" una volta per tutte (è sicuro più difficile e lungo ma invece che ripetere le stesse cose (almeno) tre volte nel ciclo base degli studi forse organizzare i programmi dalle elementari alle superiori col fine di capire e non quello di imparare..non so cosa sarebbe più efficiente..così di sicuro la maggioranza di chi non studia matematica dice che non la capisce (perché "non ci arrivo"...e ti credo..non te la spiegano!!)..vabbé...).

I numeri naturali sono un insieme dotato di struttura, l'aritmetica è una teoria.
Credo che per aritmetica "normale" volessero intendere la struttura standard per l'aritmetica (quella dei numeri naturali...) (tradotta, forse giustamente, forse no, con "normale") ed è una struttura non una teoria..

Consideriamo un linguaggio (ovvero oggetti a disposizione utilizzabili) che sia una quintupla (0,+,*,S,≤) dove lo 0 è una costante (un "oggetto" sintattico..); + e * sono funzioni binarie (somma e prodotto...una funzione è un oggetto che "prende" in pasto alcuni oggetti e ne sputa fuori un altro..una funzione binaria ne prende due e ne sputa uno...); S è una funzione unaria ("successore", unaria:si mangia un oggetto e ne sputa uno) e ≤ è una relazione binaria (una relazione è una collezione di "gruppi" ordinati di oggetti tutti con lo stesso numero di elementi, una relazione binaria è un insieme di coppie ordinate...

In questo linguaggio l'aritmetica (di Peano) è la teoria (un insieme di enunciati, proprietà...) che a partire dal linguaggio appena descritto deriva (ovvero i cui enunciati sono dimostrabili a partire da) quanto segue (che è la teoria "aritmetica"):

- qualunque sia x non è vero che 0=S(x) [ovvero lo zero non è successore di nessuno]
- per ogni x e y se S(x)=S(y) allora x=y [ovvero se due oggetto hanno lo stesso successore allora sono lo stesso oggetto]

- qualunque sia x si ha che x+0=x [ovvero lo zero è neutro per la somma]
- qualunque siano x e y si ha che S(x+y)=x+S(y) [e così sappiamo come fare le somme]

- qualunque sia x si ha che x*0=0 [ovvero lo zero è "assorbente" per la moltiplicazione]
- qualunque siano x e y si ha che x*S(y)=(x*y)+x [e così sappiamo fare i prodotti]

- qualunque sia x si ha che 0≤x [ovvero lo zero è un minimio per la relazione considerata]
- qualunque siano x e y allora y≤S(x) se e solo se (y≤x oppure y=S(x)) [ovvero il "successore" e successore rispettando l'ordine]

e in fine il mitico schema di induzione (schema perché la frase che segue in realtà sono infinite frasi, una per ogni possibile formula F)

-SE fissati determinati argomenti di F (tutti tranne uno) allora 1) essa "vale" considerando l'elemento "libero" come 0 e poi 2) supponendo che valga mettendoci un x qualsiasi riusciamo a dimostrare che vale anche mettendoci il successore di x
ALLORA F vale (su quegli argomenti determinati all'inizio) mettendo nel posto libero qualunque x vogliamo metterci! [ovvero se qualcosa vale per zero e supponendo valga per x riusciamo a mostrare che vale anche per il suo successore allora vale per ogni possibile x] {per vedere un bell'esempio di uso del principio di induzione mostriamo che nessun x e uguale al suo successore. Infatti questo, per zero vale, in quanto ce lo dice il primo assioma! ora supponiamo che valga per un generico x, ovvero che sia falso che x=S(x) vogliamo riuscire a mostrare che allora la cosa vale per il successore di x, ovvero che è falso che S(x)=S(S(x)) ma questo ce lo dice il secondo assioma, infatti se fossero uguali allora S(x)=S(S(x)) e quindi x=S(x) contro quello che abbiamo appena supposto. Dunque abbiamo visto che vale per zero, abbiamo visto che supponendo valga per x allora vale per il successore di x e quindi ...grazie all'induzione..vale per ogni possibile x!! ovvero qualunque sia x non è vero che x=S(x) cioè nessun numero (nella teoria dell'aritmetica) è il suo proprio successore!}

Questa è l'aritmetica (che consta di tutti gli enunciati che sono dimostrabili a partire dagli assiomi enunciati---scusate la digressione della digressione ma un assioma è, di fatto, un enunciato...quindi avrei potuto scrivere "a partire dagli enunciati enunciati" ..me la sto facendo addosso dal ridere ).

La struttura standard per l'aritmetica è quella data da una collezione di oggetti strutturata che chiamiamo N (i numeri naturali con la struttura adeguata coerente con quanto scritto sopra..ovvero somma, prodotto, successore, ordine che rispettano gli assiomi..il tutto è ben formalizzabile nella teoria degli insiemi ma non è questo il luogo..). Diciamo, per farla breve, che i numeri naturali (con tutte le cose che rispettano..) sono il modello standard dell'aritmetica.

Con "aritmetica con segno" dovrebbe aver inteso la struttura standard con il segno ovvero la struttura dei numeri relativi (Z) che è definita a partire considerando come elementi degli "insiemi di numeri naturali"..ovvero consideriamo tutte le possibili coppie di numeri naturali (a,b) allora possiamo dividerle in "gruppi" dicendo che due coppie (a,b) e (a',b') stanno nello stesso "gruppo" se (e solo se) a+b'=a'+b (e nella teoria aritmetica, così come nella sua struttura standard dei numeri naturali è tutto lecito e ben definito..)...bene ognuno di questi "gruppi" È un numero relativo! Consideriamo allora il gruppo contenente (0,0) e diciamo che questo "gruppo" è lo "zero". Poi, in ogni altro "gruppo", ci sarà solo un'unica coppia che ha come primo elemento 0, oppure (se questo non accade..cioè non ce ne sono di coppie con primo elemento 0) una sola che ha come secondo elemento 0 (infatti se ad esempio a'=0 allora a'+b dev'essere uguale ad a+b' con b' non zero (perché se no (a',b') sarebbe lo "zero"..) ma se b' non è zero allora vogliamo mostrare che nemmeno a è zero infatti se lo fosse allora a+b' sarebbe b' e quindi a'+b, che è b sarebbe b' e quindi (a,b) e (a',b') sarebbero la stessa coppia!). A questo punto indichiamo con "+a" il "gruppo" (unico) che contiene la coppia (a,0) e con "-a" il "gruppo" (unico) che contiene la coppia (0,a). ...poi è un fatto che per convenzione il "+" venga omesso...e si pensi e si lavori coi nomi degli oggetti (ovvero 0, 1, -1, 2, -2, ecc..) invece di che cosa "siano"

e questa è la struttura..poi la sua "teoria" (che deriverà da quella aritmetica) è, di nuovo, l'insieme di tutti gli enunciati che "valgono" in tale struttura e che si riesce a dimostrare da essi (sempre a partire dall'aritmetica...infatti gli elementi che "compongono" i numeri con segno restano pur sempre oggetti di quella teoria!!)

Detto questo...e risposto (spero) a Gandalff..(tranquillizzandolo sulla, in realtà, corretta traduzione (modulo sottintendere "struttura" e accettare di tradurre "standard" con "normale")) quello che è mirabolante e il fatto che:

[color=#FF00FF]Irishtales[/color] ha scritto:Ma dinnanzi ad una aritmetica normale (ce n'è una "anormale"?!) e quella dei numeri con segno (...?! ) getto la spugna, non potendo gettare anche io il libro nella differenziata...

ebbene sì (pensando alle strutture..come abbiamo visto la teoria aritmetica quella è..): ne esiste infatti una anormale ovvero non-standard ed è un gran bel capolavoro (oltre al fatto che si può dimostrare con un pochino di lavoro che ne esistono un numero continuo (ovvero pari alla quantità di numeri reali...che è molto di più della quantità di numeri naturali..) di differenti modelli non standard (strutture) per l'aritmetica...ovvero strutture che soddisfano tutti gli assiomi dell'aritmetica ma..non sono i numeri naturali!...magggico!!)

{piccolissima nota...la teoria è sempre la stessa...quella che parte dagli assiomi citati...la struttura standard, quella dei numeri relativi, quelle non standard...ecc..sono strutture ovvero "mondi" in cui gli "oggetti" sono "messi" in modo tale da soddisfare tutti gli enunciati della teoria...noi siamo abituati a confondere le cose..perché nessuno ce le insegna..ma un conto sono l'immagine che ho dei numeri interi (tipo una sequenza infinita di punti equidistanti disposti in linea uno "dopo" l'altro a partire da un punto che è il primo e chiamo zero...ad esempio) e un conto sono le proprietà che questa struttura soddisfa...la teoria è l'insieme delle proprietà che voglio siano soddisfatte: l'aritmetica! Una struttura è un mondo che le rispetta tutte: quella standard, quella non standard...)

Nella struttura standard infatti ogni numero è identificabile come un certo "successore del successore del successore....del successore di zero" (tipo ho una freccina lunga sempre uguale che mi unisce i miei punti e ogni punto è collegato al successivo da una freccina E ogni punto è collegato a zero da un cero "numero" di freccine consecutive di cui la prima parte, appunto, dallo zero). Senza scendere nei dettagli, consideriamo ora una struttura formata a partire da quella dei numeri naturali ma a cui abbiamo inserito un oggetto a dichiarando semplicemente che è un oggetto che non può essere scritto come successore iterato di zero (cioè non è "raggiungibile" a partire da zero seguendo le freccine) e inserendo, coerentemente con quanto dobbiamo rispettare, anche tutto quello che serve .... ebbene, tutto funziona comunque, tutti gli assiomi dell'aritmetica continuano a valere ancora ma abbiamo generato tutta una collezione di nuovi oggetti (a partire da quell'unico aggiunto) di cui , ognuno di questi "nuovi" elementi, è propriamente più grande di ogni numero naturale...inoltre l'insieme così generato resta numerabile (ovvero ha la stessa quantità di oggetti dei numeri naturali e propriamente meno dei reali).

Concludo questa digressione descrivendo l'affascinante mondo di questa struttura non standard per l'aritmetica...diamo per scontato che sappiamo cosa sono i numeri relativi (interi con segno) e cosa sono i numeri razionali (le frazioni per dirla in breve) i numeri relativi si indicano con Z, quelli razionali si indicano con Q (quelli naturali con N). Bene. Pensate di considerare l'insieme dei numeri naturali (la struttura..i pallini "uno dopo l'altro")..e poi (nel senso..dopo tutti i naturali!!)..aggiungeteci Q (la struttura..i pallini per Q..ovvero una serie di pallini senza un primo pallino né un ultimo pallino e tale che tra due pallini distinti ce ne sia sempre un'altro distinto da entrambi). A questo punto sostituite ad ognuno di questi elementi (pallini) di Q , una copia esatta di Z (i pallini per Z). Fine. Di fatto avete i (pallini per i) naturali e poi avete Q "copie" di (pallini per) Z disposte con la stessa struttura di Q. ...Johnny è quasi magia Johnny..riprova di nuovo Johnny..e come sempre riusciraiii è un incanto!!

Ah quasi dimenticavo...parlando di numeri reali direi proprio che non si parla più di aritmetica...ma di analisi (e..per i più curiosi..anche l'analisi ha modelli non standard ...leggermente più famosa credo che sia più facile infatti l'aver sentito parlare di analisi non standard piuttosto che di aritmetica non standard..).
--Off Topic Off--

Ciao ciao,

powerdork ha scritto:Credo che per aritmetica "normale" volessero intendere la struttura standard per l'aritmetica (quella dei numeri naturali...) (tradotta, forse giustamente, forse no, con "normale") ed è una struttura non una teoria..

Con "aritmetica con segno" dovrebbe aver inteso la struttura standard con il segno ovvero la struttura dei numeri relativi (Z) che è definita a partire considerando come elementi degli "insiemi di numeri naturali"..

Al di là del contenuto del volume in questione, sono proprio i condizionali e gli avverbi dubitativi ad inquietarmi, già nel titolo, in un testo scientifico...

powerdork ha scritto: I numeri naturali sono un insieme dotato di struttura, l'aritmetica è una teoria.
Credo che per aritmetica "normale" volessero intendere la struttura standard per l'aritmetica (quella dei numeri naturali...) (tradotta, forse giustamente, forse no, con "normale") ed è una struttura non una teoria..
[......]
Detto questo...e risposto (spero) a Gandalff..(tranquillizzandolo sulla, in realtà, corretta traduzione (modulo sottintendere "struttura" e accettare di tradurre "standard" con "normale")) quello che è mirabolante e il fatto che:

Correggimi se sbaglio, io non sono un matematico, ma solo un amante: l'aritmetica è la branca della matematica che studia le proprietà elementari dei numeri e delle regole delle operazioni sugli stessi?
Se è così, l'aritmetica dovrebbe essere la stessa indipendentemente dall'insieme su cui la si applica (e le proprietà delle operazioni formali non cambiare), se non è così si dovrebbero riformare tutti i vocabolari della lingua italiana.

Nella fattispecie, tu stesso dici che l'aritmetica è una teoria, poi però asserisci che forse loro con aritmetica normale intendessero una struttura e non una teoria. Beh, se l'aritmetica è una teoria (teoria o settore?), usare il termine aritmetica per definire una struttura è errato nonché fuorviante.

Irishtales ha scritto:

powerdork ha scritto:Credo che per aritmetica "normale" volessero intendere la struttura standard per l'aritmetica (quella dei numeri naturali...) (tradotta, forse giustamente, forse no, con "normale") ed è una struttura non una teoria..

Con "aritmetica con segno" dovrebbe aver inteso la struttura standard con il segno ovvero la struttura dei numeri relativi (Z) che è definita a partire considerando come elementi degli "insiemi di numeri naturali"..

Al di là del contenuto del volume in questione, sono proprio i condizionali e gli avverbi dubitativi ad inquietarmi, già nel titolo, in un testo scientifico...

Nel primo caso "credo volessero" significa: se hanno scritto una cosa giusta volevano dire quello..se no hanno sbagliato (per lo meno contesto visto quanto dicono dopo...). mentre "tradotta forse" vuol dire che non so qual'era l'originale (ma standard mi sembra ben traducibile in "normale"..anche se io preferisco standard..e anche se in ogni caso "standard", se è standard, può essere omesso..mentre è da specificare quando non è standard...). nella seconda frase il "dovrebbe" significa che hanno dato (come spesso accade) per scontata una parola supponendo che chi legge sappia di cosa si parla (..se io scrivo 1+(-1) do per scontato che sono nei numeri relativi, ovvero quelli con segno..quindi "1" non esiste...e avrei dovuto scrivere (+1)+(-1)..dove i due + sono diversi (il primo fa parte del nome di un oggetto..il secondo è un'operazione!!)...anche se l'esempio non calza proprio, ma solo perché non scrivere il segno + (nome) è una convenzione..non scrivere "struttura" standard dell'aritmetica lascia appunto la confusione tra struttura e teoria..pensando che vi siano "aritmetiche" differenti...il che a livello di fondamenti è anche vero..ma sicuro quello non era il caso visto che poi parlava di aritmetica con segno ovvero, di sicuro, di una struttura!)

gandalff ha scritto: l'aritmetica è la branca della matematica che studia le proprietà elementari dei numeri e delle regole delle operazioni sugli stessi?

(tralascio i miei commenti sulla parola "elementari"...)
Questa è una frase in italiano per spiegare qualcosa che in matematica non significa nulla. Possiamo considerare una serie di regole e simboli logici (modus ponens, terzo escluso, e, o, implica, falso, ecc) ovvero il "come" possiamo operare (e già qui siamo in un campo minato..molti infatti rifiutano la possibilità di usare il terzo escluso, ovvero che per ogni formula F valga (F o non F)... o rifiutano altro ..insomma ...è un po' un campo minato che ha due correnti di pensiero principali, qualche rara altra corrente ma teoricamente altre mille mila possibilità )..lasciando perdere però la base logica con cui operiamo noi scegliamo di considerare un linguaggio (ovvero una serie di simboli di costante, di funzione, di relazione, ecc) e solo con quelli e le regole di inferenza logica (che abbiamo deciso di accettare) lavorarci su. Ad esempio il linguaggio per l'aritmetica è ("é" vuol dire che si è deciso di chiamarlo così..) quello che vi dicevo (0,+,*,S,≤) e tutto deve poter essere definito a partire da li e solo con le regole logiche. A questo punto gli assiomi che ho citato sono quelli proposti da Peano per la sua Aritmetica..che è quella che di fatto studiamo a scuola. (altre aritmetiche sono possibili, c'è chi ad esempio non accetta l'induzione..o non del tutto...). Il punto è che una teoria è un insieme di enunciati. Allora se io considero la teoria dell'aritmetica di Peano intendo che prendo i suoi assiomi (enunciati) e considero il più grande insieme di enunciati che resta coerente (ovvero da cui non posso "dimostrare" una contraddizione)..ovviamente per fare questo parto da loro (che per capire di quali parlo li definisco assiomi) e vedo cosa ne deduco con le regole logiche...tutto quello che ne deduco farà ovviamente parte della teoria..se mai riuscirò a dedurne una contraddizione allora vorrà dire che quella teoria è incoerente (ovvero, essendo partiti solo da li, che quegli assiomi sono contraddittori tra loro!). Poi è curioso il fatto che Godel abbia dimostrato che una teoria che contiene almeno l'aritmetica (ovvero tutti i suoi enunciati..ovvero i suoi assiomi...visto che gli altri ne sono una conseguenza..) è indecidibile..ovvero SE è coerente allora non potrò mai dimostrarlo..(se è incoerente ovviamente posso..appena trovo una contraddizione)...chiaramente il mondo "pensa" che l'aritmetica sia coerente ma di fatto non solo nessuno lo sa ma, se lo fosse, nessuno lo potrà mai sapere!

gandalff ha scritto: Dopodiché
Nella fattispecie, tu stesso dici che l'aritmetica è una teoria, poi però asserisci che forse loro con aritmetica normale intendessero una struttura e non una teoria. Beh, se l'aritmetica è una teoria (teoria o settore?), usare il termine aritmetica per definire una struttura è errato nonché fuorviante.

"teoria" nel senso insieme di enunciati (quindi non settore..che è un concetto linguistico e non matematico)...in tal senso ritorniamo anche all'idea (corretta dal punto di vista linguistico) che l'aritmetica è la branca della matematica che studia numeri e loro proprietà delle operazioni ecc..nel senso (matematico) che è l'insieme degli enunciati riferiti al linguaggio (0,+,*,S,≤) che derivano dagli (ovvero sono coerenti con gli) assiomi di Peano (i cui primi oggetti che si riescono a definire sono..i numeri..ma che, attenzione..non fanno parte del linguaggio!!..li c'è solo lo Zero! Quindi i numeri stessi sono una "conseguenza" o una "proprietà" dell'aritmetica e non ne sono i mattoni...i numeri sono particolari oggetti che si dimostra che esistono e hanno certe proprietà..perché a partire dagli assiomi, tramite la logica, si arriva a dimostralo!)

Fin qui però abbiamo solo teoria..ovvero abbiamo solo enunciati..solo sintassi..solo "logica"...una struttura invece è un insieme di oggetti (reali o ideali..non cambia) "messi in modo tale" che se identifico ogni costante della mia teoria con uno di quegli oggetti e ogni simbolo funzionale con una "regola" che a tot oggetti ne associa un altro (il "tot" è lo stesso "tot" degli "ingressi del simbolo funzionale) e che ad ogni relazione associa un sottoinsieme di n.uple di quegli oggetti (in cui n è lo stesso n degli ingressi della relazione) allora ogni proprietà, ogni enunciato della teoria è "riscontrabile" nella struttura...ad esempio se prendo la struttura dei numeri naturali come struttura per l'aritmetica...ogni enunciato dell'aritmetica mi identifica una proprietà che posso vedere nei numeri naturali (che non sono solo "oggetti" ma oggetti con una ben determinata "struttura"..quella dei pallini e delle freccine è un buon modo per vederla)..

Dunque usare il termine aritmetica per definire una struttura è, sì, sbagliato..ed è proprio quello che dicevo..aggiungendo però che, a mio avviso, in realtà desse per scontato "struttura per" l'aritmetica..pensando che chi avesse letto avrebbe capito (o ignorato) la differenza..è ovvio che intendeva la struttura standard..da li a dire che ha sbagliato...formalmente si..ma..esattamente come quando guardo un equazione x+5=9 e scrivo x=9-5 dico "porto di la il 5 cambiandogli il segno"...questo è sbagliato e non vuol dire nulla e il concetto di "porto di la" è la principale causa (a mio avviso) di errore e confusione negli studenti con cui ho avuto a che fare...ma è "giusto"...se uno sa cosa sta dicendo e come lo sta facendo..

Tornando a noi..l'Aritmetica (di Peano) è una teoria (insieme di enunciati), che ha molte (Molte..) strutture (ovvero "mondi" diversi che la "rispecchiano") e di cui ce n'è una considerata standard\normale e chiamata "standard" che è quella data dai numeri naturali (con zero, somma, prodotto, successore, e ordine correttamente "interpretati" in accordo con la "teoria").

Ora non vorrei fare confusione ma, per dire.., dallo stesso linguaggio (che è stato deciso non so da chi di chiamarlo "dell'aritmetica") potremmo partire considerando altri assiomi (enunciati che vogliamo di sicuro nella nostra teoria) e avere una teoria differente dal'aritmetica di Penao. Ad esempio se togliamo gli ultimi tre assiomi (induzione inclusa..) e inseriamo

-) x<y se e solo se c'è uno z per cui S(z)+x=y [ovvero un oggetto e minore di un'altro se e solo se poso raggiungere il secondo dal primo aggiungendo un "successore"]
-) quale che sia x allora o x=0 oppure c'è un y per cui x=S(y) [ovvero ogni oggetto o è zero o è un successore]

otteniamo un'altra aritmetica (di Robinson) che è un pochino differente.

Oppure potremmo considerare gli stessi enunciati di Peano ma con una logica che non consente di usare il terzo escluso e otterremo un'altra aritmetica ancora...

A scuola si studia l'aritmetica di Peano nell'ambito della logica classica (ovvero con terzo escluso e tutto quanto) e il suo modello standard dei numeri naturali.

powerdork ha scritto:

gandalff ha scritto: l'aritmetica è la branca della matematica che studia le proprietà elementari dei numeri e delle regole delle operazioni sugli stessi?

(tralascio i miei commenti sulla parola "elementari"...)

Scusa se ho usato un termine che ha urtato la tua suscettibilità o ti ha procurato un moto di ilarità

gandalff ha scritto: Dopodiché
Nella fattispecie, tu stesso dici che l'aritmetica è una teoria, poi però asserisci che forse loro con aritmetica normale intendessero una struttura e non una teoria. Beh, se l'aritmetica è una teoria (teoria o settore?), usare il termine aritmetica per definire una struttura è errato nonché fuorviante.

Dunque usare il termine aritmetica per definire una struttura è, sì, sbagliato..ed è proprio quello che dicevo..aggiungendo però che, a mio avviso, in realtà desse per scontato "struttura per" l'aritmetica..pensando che chi avesse letto avrebbe capito (o ignorato) la differenza..è ovvio che intendeva la struttura standard..

Grazie per aver confermato che l'impiego del termine aritmetica non è corretto.

Nel contesto originale, visto che si parlava di un linguaggio di programmazione, indicava che la scelta di un tipo di variabile avrebbe determinato l'insieme di valori che la stessa avrebbe potuto assumere dicendo che si sarebbe scelto un tipo di variabile per l'aritmetica normale ed un altro tipo per l'aritmetica dei numeri con segno.

Tornando a noi..l'Aritmetica (di Peano) è una teoria (insieme di enunciati), che ha molte (Molte..) strutture (ovvero "mondi" diversi che la "rispecchiano") e di cui ce n'è una considerata standard\normale e chiamata "standard" che è quella data dai numeri naturali (con zero, somma, prodotto, successore, e ordine correttamente "interpretati" in accordo con la "teoria").

Quindi, se non mi sono perso fra incisi e parentesi, l'aritmetica è UNA teoria che ha MOLTE strutture, ergo non ci sono molte aritmetiche ma molte strutture.

Ora non vorrei fare confusione ma, per dire.., dallo stesso linguaggio (che è stato deciso non so da chi di chiamarlo "dell'aritmetica") potremmo partire considerando altri assiomi (enunciati che vogliamo di sicuro nella nostra teoria) e avere una teoria differente dal'aritmetica di Penao.

Ma in questo caso cambiamo l'insieme degli assiomi, non le strutture. O sbaglio?

powerdork ha scritto: In questo linguaggio l'aritmetica (di Peano) è la teoria (un insieme di enunciati, proprietà...) che a partire dal linguaggio appena descritto deriva (ovvero i cui enunciati sono dimostrabili a partire da) quanto segue (che è la teoria "aritmetica"):

- qualunque sia x non è vero che 0=S(x) [ovvero lo zero non è successore di nessuno]
- per ogni x e y se S(x)=S(y) allora x=y [ovvero se due oggetto hanno lo stesso successore allora sono lo stesso oggetto]

- qualunque sia x si ha che x+0=x [ovvero lo zero è neutro per la somma]
- qualunque siano x e y si ha che S(x+y)=x+S(y) [e così sappiamo come fare le somme]

- qualunque sia x si ha che x*0=0 [ovvero lo zero è "assorbente" per la moltiplicazione]
- qualunque siano x e y si ha che x*S(y)=(x*y)+x [e così sappiamo fare i prodotti]

- qualunque sia x si ha che 0≤x [ovvero lo zero è un minimio per la relazione considerata]
- qualunque siano x e y allora y≤S(x) se e solo se (y≤x oppure y=S(x)) [ovvero il "successore" e successore rispettando l'ordine]

e in fine il mitico schema di induzione (schema perché la frase che segue in realtà sono infinite frasi, una per ogni possibile formula F)

Io me la ricordavo molto più semplice (ovviamente senza le moltiplicazioni e le somme), che però le definisci per cui non li metterei negli assiomi che, andando a memoria, mi pareva fossero cinque:

1. zero è un numero
2. zero non è il successivo di nessun numero
3. il successivo di un numero è un numero
4. se due numeri hanno i successivi uguali sono uguali
5. se un insieme di numeri contiene lo zero ed il successivo di ogni suo elemento contiene tutti i numeri

Ma la mia matematica è parecchio arrugginita, e comunque resto un fisico!

Simone

powerdork ha scritto:

gandalff ha scritto:Quando dopo aver sopportato vari orrori arrivai ad un "l'aritmetica normale e quella dei numeri con segno"

Cosa c'è di male in questa frase? E, com'era l'originale "che rende la giusta idea"?

C'è di male che in un libro sul linguaggio C difficilmente ci si addentra nelle aritmetiche non standard cui fai riferimento tu, e che tradurre con "normale" l'aritmetica degli interi senza segno che in C è diversa da quella dei numeri con segno (e che non è comunque l'aritmetica dei naturali o dei razionali, perché i numeri di cui si sta parlando sono finiti), significa appunto fare una traduzione da buttare nella spazzatura.

E' una questione di rappresentazione interna usata dal linguaggio (poca matematica, e molta informatica). Ed ancora oggi i programmi son pieni di buchi/bachi per via di gente che usa gli interi (con segno) come se fossero senza segno, con risultati tutt'altro che gradevoli quando a forza di crescere un numero positivo diventa improvvisamente negativo (si chiama integer overflow).

Simone

gandalff ha scritto:Scusa se ho usato un termine che ha urtato la tua suscettibilità o ti ha procurato un moto di ilarità

Pensavo (essendo stato scritto in corsivo) che fosse una citazione..nessuna scusa è necessaria..sentire che l'aritmetica sia elementare è interessante..né sconcertante né ridicolo..interessante..

gandalff ha scritto:la scelta di un tipo di variabile avrebbe determinato l'insieme di valori che la stessa avrebbe potuto assumere dicendo che si sarebbe scelto un tipo di variabile per l'aritmetica normale ed un altro tipo per l'aritmetica dei numeri con segno

Questo però spiega quello che intendevo...allo scrittore, come giustamente fa notare Picardi, potrebbe anche non fregare nulla dei fondamenti della matematica e usare termini "comuni" nel senso "comune"..esattamente come quando io dico che "peso 78kg" ...sto dicendo una sonora e roboante assurdità (che oltre a non avere senso semanticamente non ha senso nemmeno a livello comunicativo..se non fosse per il mero senso comune che si da alla frase..) ma per me l'autore ha usato aritmetica nel senso di "modo di fare le operazioni" (e in questo senso, ovvero con la parola "modo") potrebbe anche aver avuto ragione..nel senso che se l'insieme di regole che sottostanno al modo in cui il calcolatore esegue le operazioni con l'una o l'altra classe di variabili..allora ha senso..e credo intendesse proprio quello..il computer infatti "opera" in modo differente a seconda che le variabili dichiarate siano con segno o senza segno..queste sono sequenze finite di numeri..quindi, di fatto, degli interi..quindi con l'una o l'altra classe di variabili "usa" un'aritmetica differente..nel senso una teoria differente..nel senso proprietà differenti..nel senso "modi" differenti con cui operare..



quindi non indicava l'insieme di valori che la variabile avrebbe potuto assumere (non solo) ma che "dichiarando" l'uso di quel tipo di variabile si sarebbe "attivata" quell'aritmetica (ovvero quel modo di contare) mentre con l'altra se ne sarebbe attivata un'altra.

gandalff ha scritto:Quindi, se non mi sono perso fra incisi e parentesi, l'aritmetica è UNA teoria che ha MOLTE strutture, ergo non ci sono molte aritmetiche ma molte strutture.

L'aritmetica (di Peano) è una teoria (ma ci possono essere più teorie definite "aritmetica"...si tratta di capire se siamo in un contesto formale o in uno metateorico..un conto è dire "so" cosa vuol dire contare e voglio sapere cosa posso fare coerentemente con questo..un conto è formalizzarlo e dedurne qualcosa..in questo senso ci possono essere varie teorie "aritmetica" che cercano di ricreare formalmente l'aritmetica...da cui l'interessante dell' "elementare"...) e quell'aritmetica (siamo quindi nel contesto "teoria" formalizzata) può avere modelli differenti (ad esempio quello standard e altri non standard)...la cosa magica è che la teoria principe che dovrebbe ricreare l'aritmetica (generata per simulare l'idea di numero naturale metateorica e ricrearlo con tale teoria...ha poi un modello che si allontana mica di poco dalla struttura dei numeri naturali..) In generale una teoria può avere (e in generale ha) diversi modelli. Quindi, si: non ci sono molte aritmetiche (ma non è che ce n'é solo una..) ma molte strutture (per ognuna di esse..non è che una stessa struttura vale, in generale, per due teorie..).

gandalff ha scritto:Ma in questo caso cambiamo l'insieme degli assiomi, non le strutture. O sbaglio?

Appunto..in questo senso, sbagli..cambiano (in generale) anche le strutture!

piccardi ha scritto:Io me la ricordavo molto più semplice (ovviamente senza le moltiplicazioni e le somme), che però le definisci per cui non li metterei negli assiomi che, andando a memoria, mi pareva fossero cinque:

Quelli sono quelli originali. Quelli che ho scritto io sono la "trasposizione" nella logica del prim'ordine (formalizzata) (con l'aggiunta di quelli per la relazione d'ordine..)..non volevo scendere troppo a fondo ma rendere l'idea per cercare di far capire la differenza tra una teoria e una struttura. Per dire che "aritmetica normale" (ovvero dove le regole per somma e prodotto ad esempio sono quelle usuali (tra numeri in forma binaria)) ha senso ed è diversa dall'aritmetica "dei numeri con segno" che ha delle regole per eseguire somme e prodotti (ovvero assiomi che regolano le operazioni) differenti. E questo dopo che ho capito a cui si riferiva quindi rettifico: no, non era usato in modo improprio...avevo capito che volesse indicare i numeri naturali da un lato e i numeri interi dall'altro (cioè le strutture...) così come l'hai spiegata ora allora ha molto più senso quello che ha scritto e tradotto!

piccardi ha scritto:E' una questione di rappresentazione interna usata dal linguaggio

non solo..c'è sia come il calcolatore interpreta le sequenze di bit..sia come esegue le operazioni tra loro..ovvero da le regole per interpretare degli oggetti e delle regole per operare con essi..

per quello che dici alla fine sono perfettamente d'accordo..e non solo quelli..c'è chi sbaglia a valutare gli errori dati dall'"aritmetica finita" e...succedono cose poco carine

(in ogni modo vi ringrazio perché sto ripassando tantissimo e mi è molto utile...ma vi ricordo che sono uno studente e non un professore ...anche se è uno degli argomenti che amo )

powerdork ha scritto:

gandalff ha scritto:Scusa se ho usato un termine che ha urtato la tua suscettibilità o ti ha procurato un moto di ilarità

Pensavo (essendo stato scritto in corsivo) che fosse una citazione..nessuna scusa è necessaria..sentire che l'aritmetica sia elementare è interessante..né sconcertante né ridicolo..interessante..

No, non era una citazione, nelle convenzioni tipografiche l'italico serve per evidenziare una parola o una frase, le citazioni sono racchiuse tra virgolette (in linea con il testo) o contenute in una formattazione particolare del testo (come viene fatto quando citi qualcuno qui nel forum).
Il senso originale del tuo commento (così come di quello che hai appena fatto) è molto ironico e dottorale.

gandalff ha scritto:la scelta di un tipo di variabile avrebbe determinato l'insieme di valori che la stessa avrebbe potuto assumere dicendo che si sarebbe scelto un tipo di variabile per l'aritmetica normale ed un altro tipo per l'aritmetica dei numeri con segno

powerdork ha scritto: ma per me l'autore ha usato aritmetica nel senso di "modo di fare le operazioni" (e in questo senso, ovvero con la parola "modo") potrebbe anche aver avuto ragione..

Siamo nel campo dell'ipotetico, quando compro un manuale di un linguaggio di programmazione pagandolo con denaro reale e non ipotetico voglio delle informazioni corrette e immediatamente fruibili

gandalff ha scritto:Quindi, se non mi sono perso fra incisi e parentesi, l'aritmetica è UNA teoria che ha MOLTE strutture, ergo non ci sono molte aritmetiche ma molte strutture.

Quindi, si: non ci sono molte aritmetiche (ma non è che ce n'é solo una..) ma molte strutture (per ognuna di esse..non è che una stessa struttura vale, in generale, per due teorie..).

Beh, il fatto che ce ne siano diverse sinifica anche che ce ne sono molte...

Erasmo ha scritto:esistono tante grammatiche quanti sono i grammatici, ed anche di più"

Mi spiego meglio: definita una teoria, o aritmetica, esistono molte strutture corrispondenti a quella teoria, che rimane unica, all'interno di quel set di assiomi ci sono molte strutture ed una aritmetica.

gandalff ha scritto:Ma in questo caso cambiamo l'insieme degli assiomi, non le strutture. O sbaglio?
Appunto..in questo senso, sbagli..cambiano (in generale) anche le strutture!

Dove avrei sbagliato? dunque la tua frase era:

Ora non vorrei fare confusione ma, per dire.., dallo stesso linguaggio (che è stato deciso non so da chi di chiamarlo "dell'aritmetica") potremmo partire considerando altri assiomi (enunciati che vogliamo di sicuro nella nostra teoria) e avere una teoria differente dal'aritmetica di Penao.

Per ottenere un'aritmetica diversa è necessario cambiare gli assiomi, non le strutture. Le strutture cambiano, o meno, di conseguenza. Ovvero, il fatto che caratterizza il cambio di aritmetica è il cambio degli assiomi. Quindi cambiare il set di numeri non cambia l'aritmetica. Cambiare gli assiomi cambia l'aritmetica anche se continuassi a usare lo stesso set di numeri

gandalff ha scritto:Siamo nel campo dell'ipotetico, quando compro un manuale di un linguaggio di programmazione pagandolo con denaro reale e non ipotetico voglio delle informazioni corrette e immediatamente fruibili

Il mio "per me" era ridondanza del fatto che scrivevo io...infatti da quello che ho letto su quello che l'autore ha scritto sono sicuro intendesse quello (io..da cui: per me). Sarebbe da prendere tutto il capoverso in originale, in traduzione e capire cosa voleva dire l'autore e come lo ha trasposto il traduttore..

gandalff ha scritto:Mi spiego meglio: definita una teoria, o aritmetica, esistono molte strutture corrispondenti a quella teoria, che rimane unica, all'interno di quel set di assiomi ci sono molte strutture ed una aritmetica

Questo si. All'interno di quel set di assiomi (che è un'aritmetica) possono (in questo caso è detto ma in generale non è detto) esserci più strutture ("diverse"..se no è scontato..) che rispecchiano quel set di assisomi, ovvero quella teoria.

gandalff ha scritto: gandalff ha scritto:
Ma in questo caso cambiamo l'insieme degli assiomi, non le strutture. O sbaglio?
Dove avrei sbagliato?

Se cambiano gli assiomi cambiano le strutture.

gandalff ha scritto:Per ottenere un'aritmetica diversa è necessario cambiare gli assiomi, non le strutture. Le strutture cambiano, o meno, di conseguenza. Ovvero, il fatto che caratterizza il cambio di aritmetica è il cambio degli assiomi. Quindi cambiare il set di numeri non cambia l'aritmetica. Cambiare gli assiomi cambia l'aritmetica anche se continuassi a usare lo stesso set di numeri

Allora: un matematico ha una sua idea di cosa è giusto usare e fare a livello logico. Inoltre ha una sua idea di cosa "sia" l'Aritmetica. In base a queste due cose definisce un certo numero di enunciati base (che chiama "assiomi" per differenziarli solo a livello linguistico da tutti gli altri che dimostrerà). Questi enunciati, grazie alle regole logiche che accetta, generano tutta una collezione di enunciati "coerenti" con essi (e questo indipendentemente che lui sia in grado di dimostrarli o meno...). Tutta questa collezione di enunciati coerenti con gli assiomi, in accordo alle regole logiche, sono una teoria (tenendo conto che possono esserci, e nel caso dell'aritmetica (di Peano) ci sono, anche enunciati coerenti ma indimostrabili!). Fatta la teoria vogliamo vedere come "vedere" gli oggetti di cui parla e cerchiamo strutture (mondi) in cui tutti quegli enunciati si riflettano. Ad esempio (per l'aritmetica di Peano, la struttura dei naturali ne è un esempio). Chiaramente la teoria l'ha fatta avendo in mente un "mondo" quindi è auspicabile che la prima struttura che "vada bene" per quella teoria e che gli viene in mente sia proprio il suo mondo (come per i naturali..) poi però la teoria resta una teoria e una sua interpretazione in una struttura prescinde dalla volontà di chi l'ha definita e quindi ci sono altri matematici che trovano altre strutture lontanissime dall'idea originale che rispondono e rispecchiano altrettanto bene quella teoria (che non è cambiata nella..teoria ma lo è di molto nella pratica!!).

Una volta che invece decido di definire nuovi assiomi ottengo un'altra teoria che posso chiamare con lo stesso nome (aritmetica) perché ne ho il diritto (magari mettendoci vicino il mio nome..) e se l'ho cambiata probabilmente ho in mente un mondo differente che non si adattava alla teoria di prima ma era la mia idea di aritmetica..coi miei assiomi il mio mondo (si spera) diviene rappresentante della nuova teoria.

Ora, cambiare il set di numeri vuol dire che considero una nuova struttura. Questa struttura potrebbe rispecchiare o meno il set di assiomi iniziale (nel caso dei numeri con segno, ovviamente, non avviene..visto che non c'è nessun elemento, ad esempio, che può prendere il posto dello zero dei numeri naturali..cioè che non sia successore di nessun elemento..) Nel caso lo rispetti abbiamo trovato una nuova interpretazione, una nuova struttura, per la stessa teoria (come la struttura standard e non standard). Nel caso non la rispetti allora non è una struttura per quella teoria e basta..se poi lo sia per un'altra è da vedere..

Nel nostro caso le teorie aritmetiche sono differenti e avranno assiomi differenti perché vogliono cogliere idee differenti...dopodiché i numeri naturali (normali) sono una buona struttura per la prima teoria, i numeri con segno sono una buona struttura per la seconda teoria. Trattandosi comunque di "interi" decidiamo di chiamare le due teorie entrambe "aritmetica" dicendo che una è quella "normale" (che in nessun contesto anche non matematico significa nulla...ma si capisce sempre cosa si intende!) e una quella "con segno" (ovvero potrebbe essere i relativi..ma in questo caso non sono nemmeno loro perché si tratta di un aritmetica finita..e i numeri relativi non sono finiti quindi non sono una buona struttura per la teoria aritmetica "dei numeri con segno" in senso informatico).

Anche nel caso informatico infatti parto da un'idea (quello che vorrei ottenere) e comincio a stabilire delle "regole" asisomi, ad esempio ogni numero ha 8 caratteri 0|1, ecc...questi definiscono la teoria. Poi alla fine quello che "immagino" vorrebbe essere una struttura che rispecchia quella teoria..

Quando si parla di "bachi" si parla di linguaggio..perché errori non esistono..sono conseguenze del linguaggio considerato con la logica usata sugli enunciati base che abbiamo posto..quel "baco" non è altro che la tesi di un teorema che non avevamo previsto o dimostrato..ma un computer non sbaglia..(non teorico..e l'overflow non è un errore di trasmissione di dati ma è teorico..posso generarlo apposta..e non avviene mai per caso ma secondo determinate precise regole..che io a volte, semplicemente, dimentico o non considero! Tant'è che il NaN in molti programmi viene sfruttato per le sue proprietà come fosse (e infatti lo è) un vero e proprio oggetto..ampliando lo spettro dei programmi "intuitivi" trascendendo dal significato che "vediamo" in un programma e sfruttando solo la sua "logica".

In ogni modo, riprendendo quello che dicevi, il fatto che caratterizza il cambio di aritmetica è il cambio di "qualcosa"..se tengo gli stessi assiomi ma cambio le regole logiche con cui posso dedurne qualcosa..cambio teoria..quindi cambio aritmetica..se cambio gli assiomi cambio aritmetica (forse...perché potrei sempre dimostrare che anche coi nuovi assiomi la collezione totale degli enunciati della teoria non cambia e quindi la teoria è la stessa ma semplicemente assiomatizzata in modo differente..)...se cambio struttura allora cambio il modo di "vedere" quell'aritmetica..ma potrebbe cambiare (a me) tantissimo! (ad esempio nell'aritmetica non standard esiste un elemento che ha infiniti predecessori..in quella standard no..esistono due elementi distinti che hanno infiniti elementi tra loro..in quella standard no..ma la teoria da cui siamo partiti è la stessa)

powerdork ha scritto:..in questo senso, sbagli..cambiano (in generale) anche le strutture!

powerdork ha scritto:

gandalff ha scritto: gandalff ha scritto:
Ma in questo caso cambiamo l'insieme degli assiomi, non le strutture. O sbaglio?
Dove avrei sbagliato?

Se cambiano gli assiomi cambiano le strutture.

Trovo una contraddizione nelle due affermazioni.

La prima è vaga.

L'ho scritta così per evidenziare il fatto che

gandalff ha scritto:Ma in questo caso cambiamo l'insieme degli assiomi, non le strutture.

fa trasparire (per me) un'incomprensione del legame tra strutture e teorie..
in generale le strutture non restano le stesse se cambi gli assiomi. Ogni insieme di assiomi, con l'uso di una determinata logica, genera una teoria (l'insieme di tutti gli enunciati dimostrabili a partire da quegli assiomi usando quella logica). Se cambi gli assiomi (mantenendo la stessa logica) allora o ottieni comunque la stessa teoria (quindi lo stesso insieme di enunciati totale) e quindi la collezione di strutture della prima teoria è la stessa della seconda perché sono la stessa teoria...oppure generi una teoria differente, che avrà quindi una collezione di strutture differente..potrebbe essere che una stessa struttura vada bene per entrambe le teorie ma in genere avrai delle strutture che vanno bene per la prima e non per la seconda, e viceversa.

Ad esempio se consideriamo la geometria neutrale (quella euclidea senza l'assioma delle parallele...il che non vuol dire che sia vero il contrario ma solo che non c'è quell'assioma!) allora il piano euclideo ne è comunque una struttura infatti tutto quello che posso dimostrare da quegli assiomi resta vero nel piano euclideo!..ma anche il piano iperbolico ne è una struttura!

Se poi a quegli assiomi aggiungiamo l'assioma secondo cui data una retta e un punto esterno a essa esiste ed è unica la retta parallela alla retta data passante per quel punto (il V assioma di Euclide) allora otteniamo la geometria euclidea.. e il piano euclideo ne è una struttura ma non lo è più il piano iperbolico..se invece di quell'assioma aggiungiamo invece a quelli della geometria neutrale l'enunciato secondo che dichiara che dati una retta e un punto esterno ad essa esistono infinite rette parallele alla retta data che passano per quel punto, allora otteniamo la geometria iperbolica e il piano iperbolico ne è una struttura (così come il disco di Poincaré) ma il piano euclideo non ne è più una struttura..

bene siamo partiti da una teoria (geometria neutrale) che aveva un tot di strutture che la rispettavano (tra cui sia quella del piano euclideo sia quella del piano iperbolico) poi abbiamo cambiato assiomi aggiungendone uno e le strutture si sono ridotte in un certo modo. Cambiando gli assiomi in modo diverso, aggiungendo una delle possibili negazioni dell'assioma introdotto (un'altra negazione sarebbe che la parallela non esiste) abbiamo ridotto comunque l'insieme di strutture che vanno bene, ma in modo diverso!

Chiaramente qui abbiamo aggiunto un assioma quindi l'insieme delle strutture si può solo ridurre..ma se avessimo cambiato gli assiomi allora l'insieme delle strutture potrebbe proprio cambiare, come ad esempio nei due secondi casi..in cui non solo cambia ma non ha nemmeno più intersezioni comuni..(avendo sostituito l'assioma delle parallele con una sua negazione chiaramente non possono esserci modelli che vanno bene per entrambe le teorie..un tale modello infatti soddisferebbe sia un enunciato che la sua negazione contemporaneamente conducendo a un assurdo)

Qui sta il senso della seconda frase (scritta imprecisa, è vero, scusa)

Se cambiano gli assiomi (in modo da generare una teoria differente da quella che si aveva prima..) allora cambiano le strutture (nel senso che l'insieme delle strutture che sono strutture di quella teoria non è lo stesso insieme delle strutture che sono strutture della teoria di prima...cioè "le strutture" cambiano non nel senso che si "modificano" le strutture, che non avrebbe proprio senso come affermazone...una strutta quella è e quella resta, ma cambia l'insieme di strutture che "vanno bene")


È tardi..quindi spero di aver fatto più chiarezza che confusione..ma questo non posso dirlo io
notte notte