Phi, φ, pentagoni e Fibonacci
Inviato: lunedì 25 settembre 2023, 0:22
Gli studi sulle proprietà del pentagono e del pentagramma risalgono ai tempi di Pitagora (V sec. a.C.). Si é sostenuto che l’alunno di Pitagora, Ippaso di Metaponto (che più probabilmente, però, nacque a Crotone o a Sibari), abbia scoperto il primo rapporto tra grandezze incommensurabili studiando la sezione aurea che appare nella costruzione del pentagono regolare e del dodecaedro basato su questa figura. La prima, chiara definizione di φ, cioè del “rapporto estremo e medio”, si deve a Euclide (ca. 350 a.C.), che nel VI libro dei suoi Elementi, stabilisce che “una retta è stata divisa in estrema e media ragione quando la retta intera sta al segmento maggiore di essa come il segmento maggiore sta al segmento minore”.
Indicata con la lettera greca φ (phi), la sezione aurea è un numero la cui espansione decimale prosegue all'infinito senza mai ripetersi. L'espansione decimale di φ inizia con 1,6180339887.
Fu il matematico Luca Pacioli, all’inizio del XVI secolo, a dare alla sezione aurea la sua fama, battezzando il rapporto φ come “divina proportione”. Nel suo «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita”, del 1494, Pacioli aveva fatto riferimento al “Liber abbaci”, un noto trattato scritto in latino medievale dal matematico Leonardo da Pisa (più tardi noto come Fibonacci) a principio del secolo XIII. Del trattato sono specialmente noti i “numeri di Fibonacci”, una successione (nota, guarda caso, anche come “successione aurea”) di numeri interi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ...
Nel corso del secolo XIX fu verificata la connessione fra i numeri di Fibonacci e la sezione aurea. Infatti, se ogni numero di Fibonacci viene diviso per quello precedente, man mano che si avanza nella sequenza il risultato ottenuto tende a φ, cioè si avvicina alla sezione aurea.
Qui mi sono divertito a costruire un pentagono regolare a partire da un lato e dalla applicazione della sua sezione aurea. Al suo interno ho costruito il pentagramma che ne unisce i vertici, al cui interno si forma un altro pentagono dove é possibile disegnare un pentagramma piú piccolo che contiene un pentagono…
Ora, per quelle cose della matematica, il rapporto tra la lunghezza dei segmenti che otteniamo in questa figura, in senso decrescente, é in accordo con la proporzione aurea: ab = bc+cd; bc = cd+de; cd = de+ef; ecc.
Per finire, ho usato un compasso e due Montblanc Bohéme (EF e F), con inchiostro MB Royal Blue (EF) e Diamine Writers Blood (F), su un foglio di “carta pergamena” Strathmore Parchment, che si vende in un blocco di 50 fogli in 5 colori: avorio, bianco, azzurrino, verde chiaro e rosato. Ho usato un foglio di questo ultimo colore.
Indicata con la lettera greca φ (phi), la sezione aurea è un numero la cui espansione decimale prosegue all'infinito senza mai ripetersi. L'espansione decimale di φ inizia con 1,6180339887.
Fu il matematico Luca Pacioli, all’inizio del XVI secolo, a dare alla sezione aurea la sua fama, battezzando il rapporto φ come “divina proportione”. Nel suo «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita”, del 1494, Pacioli aveva fatto riferimento al “Liber abbaci”, un noto trattato scritto in latino medievale dal matematico Leonardo da Pisa (più tardi noto come Fibonacci) a principio del secolo XIII. Del trattato sono specialmente noti i “numeri di Fibonacci”, una successione (nota, guarda caso, anche come “successione aurea”) di numeri interi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ...
Nel corso del secolo XIX fu verificata la connessione fra i numeri di Fibonacci e la sezione aurea. Infatti, se ogni numero di Fibonacci viene diviso per quello precedente, man mano che si avanza nella sequenza il risultato ottenuto tende a φ, cioè si avvicina alla sezione aurea.
Qui mi sono divertito a costruire un pentagono regolare a partire da un lato e dalla applicazione della sua sezione aurea. Al suo interno ho costruito il pentagramma che ne unisce i vertici, al cui interno si forma un altro pentagono dove é possibile disegnare un pentagramma piú piccolo che contiene un pentagono…
Ora, per quelle cose della matematica, il rapporto tra la lunghezza dei segmenti che otteniamo in questa figura, in senso decrescente, é in accordo con la proporzione aurea: ab = bc+cd; bc = cd+de; cd = de+ef; ecc.
Per finire, ho usato un compasso e due Montblanc Bohéme (EF e F), con inchiostro MB Royal Blue (EF) e Diamine Writers Blood (F), su un foglio di “carta pergamena” Strathmore Parchment, che si vende in un blocco di 50 fogli in 5 colori: avorio, bianco, azzurrino, verde chiaro e rosato. Ho usato un foglio di questo ultimo colore.
